РАЗЫСКНАЯ служба
минно-разыскная собака

правильным считается только такое написание:  РАЗЫСКНОЙ, через А

Безударный гласный здесь не проверяется ударением. Для приставки раз-  (рас-) / роз- (рос-) действует особое правило: в безударной позиции пишется буква а, хотя под ударением – только о:
раздать, но розданный;
расписать, расписной, но роспись;
разливать, разливной, но розлив;
разыграть, разыгранный, но розыгрыш.

Это правило приведено в § 15 официально действующих «Правил русской орфографии и пунктуации» 1956 года.

p/s/ В документах и на сайте РКФ написано не правильно.

Проверить.........

наиболее часто встречающееся словосочетание в положениях, правилах или при ссылке на них

Как правильно:
согласно приказа, договора, распоряжения
или
согласно приказу, договору, распоряжению?

Правильно: согласно приказу, договору, распоряжению, штатному расписанию, приложению, положению, решению, плану, уставу и т. д.
Предлог согласно в современном русском языке требует дательного падежа, правильно: согласно чему, а не чего.

Сейчас правильно только: согласно чему, то есть с дательным падежом.

p/s/ на сайте и в документах РКФ не правильное написание, при ссылке на принятые решения, конференции, положения и приказы

Проверить........

Это заимствование из английского языка.
В иностранном языке это просто Бренд, ничего не означающий семантически (как у нас слово Яндекс, например). Слово не несёт смысловой нагрузки.
Изначально было (и есть) написание Frisbie, затем Frisbee (специально заменена одна буква, чтобы компании не предъявляли авторских прав на название).

В русском языке в словарях упоминается только написание ФРИСБИ (как транслитерация на кириллицу этого названия).
Но используется два варианта русского написания: через з и через с. Первый вариант написания статистически встречается чаще, чем второй, но словарями узаконено только написание через «с». Предположу, что использование звука [з] и соответственно его написание, связано со звонким согласным "Б", следующим сразу за ним, русскому уху привычнее и удобнее употреблять звук [З].

Идёт процесс внедрения иноязычного заимствования, его активное уподобление. Это процесс долговременный, постепенный. Происходит становление иноязычного заимствованного элемента как самостоятельной морфемы в русском языке (морфемизация).

Вывод:  в словаре только -  ФРИСБИ, но использование написания ФРИЗБИ не является ошибочным, т.к. это неологизм языка. Пройдёт не одно десятилетие, когда возникнет однозначная литературная норма на этот термин в русском языке.